Eksempler på systemer av lineære ligninger: løsningsmetoden

Systemer av ligninger har blitt mye brukt iøkonomisk matematisk modellering av ulike prosesser. For eksempel når man løser ledelsesoppgaver og produksjonsplanlegging, logistikkruter (transportoppgave) eller utstyrsplassering.

Ligningssystemer brukes ikke bare innen matematikk, men også i fysikk, kjemi og biologi, for å løse problemer med å finne befolkningsstørrelsen.

Et system med lineære ligninger kalles to eller flereLikninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en generell løsning på. En slik sekvens av tall for hvilke alle ligninger blir ekte likeverd eller bevise at sekvensen ikke eksisterer.

Den lineære ligningen

Likninger av skjemaet ax + by = c kalles lineære. Notasjonen x, y er ukjent, hvis verdi må bli funnet, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens frie uttrykk.
Løsningen av ligningen ved å konstruere sin graf vil ha form av en rett linje, alle hvis poeng er en løsning av polynomet.

Typer systemer av lineære ligninger

De enkleste eksemplene er systemer av lineære ligninger med to variabler X og Y.

F1 (x, y) = 0 og F2 (x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner, og (x, y) er funksjonsvariabler.

Løs system av ligninger - dette betyr å finne verdiene (x, y) der systemet blir til riktig likestilling eller fastslå at det ikke finnes egnede x- og y-verdier.

Et par verdier (x, y), skrevet i form av koordinatene til et punkt, kalles løsningen av et system med lineære ligninger.

Hvis systemer har en felles løsning eller løsninger ikke eksisterer, kalles de likeverdige.

Homogene systemer av lineære ligninger er systemer hvis høyre side er lik null. Hvis rett etter tegnet for likestilling har en verdi eller uttrykkes av en funksjon, er et slikt system ikke homogent.

Antallet av variabler kan være mye større enn to, da skal vi snakke om et eksempel på et system med lineære ligninger med tre variabler eller mer.

Faced med systemene for skolebarn foreslå,at antall likninger må nødvendigvis falle sammen med antall ukjente, men dette er ikke slik. Antallet av ligninger i systemet er ikke avhengig av variabler, det kan være så mange som de liker.

Enkle og komplekse metoder for å løse systemer av ligninger

Det er ingen felles analysemetodeløsninger av slike systemer, er alle metoder basert på den numeriske løsningen. I skolen løpet av matematikk slike metoder er beskrevet i detalj som permutasjon algebraiske tilsetning, substitusjon, så vel som grafisk og matrisemetoden, løsningen av Gauss-metoden.

Hovedoppgaven i undervisningsmetoder for å løse -det er å lære deg hvordan du skal analysere systemet riktig og finne den optimale løsningsalgoritmen for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske reglene og handlingene for hver metode, men å forstå prinsippene for å anvende denne eller den metoden

Løsning av eksempler på systemer av lineære ligninger 7Klassen i det generelle skoleprogrammet er ganske enkelt og forklart i stor detalj. I noen lærebok matematikk, er denne delen gitt nok oppmerksomhet. Løsning eksempler på systemer av lineære ligninger Gauss-metoden Cramer og mer detaljert studie i det første året av høyere utdanning.

Løse systemer ved erstatning

Handlingene i substitusjonsmetoden er rettet tiluttrykk for verdien av en variabel gjennom den andre. Ekspresjonen er erstattet i den gjenværende ligningen, så blir den hentet til skjemaet med en variabel. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet

Vi gir en løsning på et eksempel på et system av lineære ligninger av den 7. klasse ved substitusjonsmetoden:

Som du kan se fra eksemplet, ble variabelen x uttryktgjennom F (X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert i den andre ligningen i systemet i stedet for X, bidro til å oppnå en variabel Y i den andre ligningen. Løsningen i dette eksemplet forårsaker ikke vanskeligheter og lar deg få verdien av Y. Det siste trinnet er å kontrollere de oppnådde verdiene.

Løs et eksempel på et system med lineære ligningersubstitusjon er ikke alltid mulig. Ligninger kan være komplekse og uttrykket av variabelen gjennom det andre ukjente vil vise seg å være for tungt for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er også substitusjon uopplagt.

Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene likninger:

Løsning ved hjelp av algebraisk tillegg

Når man søker etter systemløsningen ved hjelp av tilleggsmetoden, utføres term-by-term tillegg og multiplikasjon av ligninger med forskjellige tall. Det endelige målet med matematiske handlinger er en ligning med en variabel.

Ved bruk av denne metoden er det nødvendig med praksisog observasjon. Løs systemet av lineære ligninger ved hjelp av tilleggsmetoden for en rekke variabler på 3 eller flere er ikke lett. Algebraisk tillegg er praktisk når fraksjoner og desimaler er til stede i ligningene.

Løsningsalgoritme:

1. Multipliser begge sider av ligningen med et visst tall. Som et resultat av den aritmetiske operasjonen, må en av koeffisientene for variabelen bli lik 1.
2. Til slutt legger du til det resulterende uttrykket og finner en av de ukjente.
3. Erstatt denne verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.

Metoden for å løse ved å introdusere en ny variabel

En ny variabel kan skrives inn hvis det i systemet er nødvendig å finne en løsning for ikke mer enn to likninger, må antall ukjente også ikke være mer enn to.

Metoden brukes til å forenkle en avligninger, ved å skrive inn en ny variabel. Den nye ligningen løses med hensyn til det ukjente, og verdien som er oppnådd, brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.

Det ses fra eksempelet at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere den første ligningen til systemet til standard kvadratisk trinomial. Løs polynomet ved å finne diskriminanten.

Det er nødvendig å finne verdien av diskriminanten vedkjent formel: D = b2 - 4 * a * c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er polynomialmultiplikatorene. I det givne eksempelet er a = 1, b = 16, c = 39, D = 100. Hvis diskriminanten er større enn null, er det to løsninger: t = -b ± √D / 2 * a, hvis diskriminanten er mindre enn null, så er løsningen en: x = -b / 2 * a.

Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved tilsetningsmetoden.

En visuell metode for å løse systemer

Egnet for systemer med 3 likninger. Metoden består i å plotte på koordinataksen grafene til hver ligning som kommer inn i systemet. Koordinatene til krysspunktene for kurvene vil du være den generelle løsningen av systemet.

Den grafiske metoden har en rekke nyanser. La oss vurdere flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.

Som det kan ses fra eksemplet, for hver rettlinjekonstruert to punkter, ble verdiene av de variable x tilfeldig valgt: 0 og 3. På grunnlag av verdiene av x, verdiene funnet for y: 3 og 0 punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) er markert på diagrammet og forbundet med en linje .

Handlingen må gjentas for den andre ligningen. Krysspunktet mellom linjene er en løsning av systemet.

I det følgende eksemplet må vi finne en grafisk løsning på systemet med lineære ligninger: 0,5x-y + 2 = 0 og 0,5x-y-1 = 0.

Som du kan se fra eksemplet, har systemet ikke en løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser langs hele lengden.

Systemene i eksempel 2 og 3 er like, men meddet blir klart at deres løsninger er forskjellige. Det skal huskes at det ikke alltid er mulig å si om systemet har en løsning eller ikke, det er alltid nødvendig å bygge en tidsplan.

Matrix og varianter

Matriser brukes til kort å registrere et system med lineære ligninger. Matrisen kalles et bord av en spesiell type, fylt med tall. En matrise av skjemaet n * m har n-rader og m-kolonner.

Matrisen er firkantet når talletkolonner og rader er lik hverandre. En matriksvektor er en matrise av en kolonne med et uendelig antall rader. En matrise med de på en av diagonalene og andre nullelementer kalles en unitmatrise.

En invers matrise er en slik matrise, multiplisert med hvilken den opprinnelige matrisen blir til en enkelt matrise, en slik matrise eksisterer bare for den opprinnelige kvadratmatrisen.

Reglene for å transformere et system av ligninger i en matrise

Med hensyn til systemer av ligninger er koeffisientene og frie betingelsene i ligningene skrevet som tallene for matrisen, en ligning er en rad av matrisen.

En rad av en matrise sies å være ikke-null hvis minstEt element i strengen er ikke null. Derfor, hvis i noen av ligningene er variabelen forskjellig, er det nødvendig å skrive null på stedet for den manglende ukjente.

Matriks kolonner må strengt passevariabler. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x kun kan skrives i en kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til det ukjente y er bare i den andre kolonnen.

Når matrisen blir multiplisert, blir alle elementene i matrisen fortløpende multiplisert med et tall.

Varianter av å finne den inverse matrisen

Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K^-1= 1 / | K |, hvor K^-1 er den inverse av matrisen, og | K | matrisen determinant. | K | bør ikke være null, så har systemet en løsning.

Det er lett å beregne determinanten for en to-to-to matrise, det er bare nødvendig å formere elementene diagonalt. For varianten "tre av tre", formelen | K | = a₁b₂c₃ + a₁b₃c₂ + a₃b₁c_{2 +} en₂b₃c₁ + a₂b₁c₃ + a₃b₂c₁. Du kan bruke formelen, og du kanHusk at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at produktet ikke gjentar kolonne- og radnummeret til elementene.

Løsning av eksempler på systemer av lineære ligninger ved matrisemetoden

En matrisemetode for å søke etter en løsning gjør det mulig å redusere vanskelige opptegnelser når man løser systemer med et stort antall variabler og ligninger.

I eksemplet a_nm - koeffisienter av ligninger, matrise - vektor x_n - variabler, og b_n - gratis medlemmer.

Deretter må vi finne den inverse matrisen og multiplisere den med den opprinnelige matrisen. Finn verdiene av variablene i den resulterende enhetmatrisen er en lett kjørbar oppgave.

Løsning av systemer ved Gauss-metoden

I høyere matematikk studeres Gauss-metodensammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne løsninger på systemer kalles Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metodene brukes når man finner variable systemer med et stort antall lineære ligninger.

Den gaussiske metoden ligner meget på løsningersubstitusjoner og algebraisk tillegg, men mer systematisk. I skoleforløpet brukes Gauss-metoden for systemer med 3 og 4 ligninger. Målet med metoden er å bringe systemet til en omvendt trapes. Ved hjelp av algebraiske transformasjoner og substitusjoner, er verdien av en variabel funnet i en av systemets ligninger. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, vel, 3 og 4 - henholdsvis med 3 og 4 variabler.

Etter å ha redusert systemet til den beskrevne form, blir den ytterligere løsning redusert til suksessiv substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.

I skole lærebøker for klasse 7 beskrives et eksempel på en løsning ved Gauss-metoden som følger:

Som det fremgår av eksemplet, i trinn (3) er to ligninger 3x₃-2x₄= 11 og 3x₃+ 2x₄= 7. Løsningen av noen av ligningene vil tillate en å kjenne en av variablene x_n.

Stilling 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av ligningene i systemet er erstattet med en tilsvarende, vil det resulterende systemet også være ekvivalent med den opprinnelige.

Den gaussiske metoden er vanskelig for elevene å opplevevideregående skole, men det er en av de mest interessante måtene å utvikle kunnskapen til barn som studerer under programmet for grundig studiet i matematiske og fysiske klasser.

For enkelhet er det vanlig å skrive beregninger som følger:

Koeffisientene til ligningene og de frie vilkåreneer skrevet i form av en matrise, hvor hver rad av matrisen tilsvarer en av ligningene i systemet. Den vertikale linjen adskiller venstre side av ligningen fra høyre. Romersk tallere angir antall likninger i systemet.

Skriv først matrisen derfraarbeid, deretter alle handlinger utført med en av linjene. Den oppnådde matrisen er skrevet etter tegnet "pil" og fortsetter å utføre de nødvendige algebraiske tiltakene til resultatet oppnås.

Som et resultat bør en matrise oppnås derEn av diagonalene er 1, og alle andre koeffisienter er null, det vil si at matrisen er redusert til en enkelt form. Vi må ikke glemme å utføre beregninger med sifrene på begge sider av ligningen.

Denne metoden for innspilling er mindre tungvint og tillater ikke å bli distrahert ved oppregning av mange ukjente.

Fri bruk av enhver løsningsmetodevil kreve oppmerksomhet og viss erfaring. Ikke alle metodene har en anvendt natur. Noen måter å finne løsninger på, er mer å foretrekke i det andre området av menneskelig aktivitet, mens andre finnes i formålet med opplæring.